Phương pháp giải:

+) Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm sô \(y=f\left( x \right),\ \ y=g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x=a,\ \ x=b\) được tính bởi công thức \(S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx.}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y'=2x-6\)  

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( 1;\ 7 \right)\) là: \(y=y'\left( 1 \right)\left( x-1 \right)+7=-4x+11\)  

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(B\left( -1;\ 19 \right)\) là: \(y=y'\left( -1 \right)\left( x+1 \right)+19=-8x+11\)  

Ta có: \(-4x+11=-8x+11\Leftrightarrow x=0\)  

Khi đó ta có:

\(\begin{align}  & S=\int\limits_{-1}^{0}{\left| {{x}^{2}}-6x+12+8x-11 \right|dx+}\int\limits_{0}^{1}{\left| {{x}^{2}}-6x+12+4x-11 \right|dx} \\ & =\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)dx}+\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)dx} \\ & =\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}+x \right) \right|_{-1}^{0}+\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}}+x \right) \right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}. \\\end{align}\)

Chọn B.