Phương pháp giải:

+) Đường thẳng \(x=a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số khi \(\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty \)

+) Đường thẳng \(y=b\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số khi \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-3}{\sqrt{{{x}^{2}}-9}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\frac{3}{x}}{\sqrt{1-\frac{9}{{{x}^{2}}}}}=1\Rightarrow y=1\) là TCN của đồ thị hàm số.

\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-3}{\sqrt{{{x}^{2}}-9}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\frac{3}{x}}{-\sqrt{1-\frac{9}{{{x}^{2}}}}}=-1\Rightarrow y=-1\) là TCN của đồ thị hàm số.

Có \({{x}^{2}}-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=3 \\ & x=-3 \\\end{align} \right.\)

Lại có \(x=3\) là nghiệm của tử số \(\Rightarrow x=3\) không là TCĐ của đồ thị hàm số, \(x=-3\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Chọn D.