Lời giải chi tiết:

 Điện trở mạch ngoài là: \({{R}_{ng}}=\frac{R.{{R}_{1}}}{R+{{R}_{1}}}=\frac{6R}{R+6}\)

Cường độ dòng điện trong mạch là:

\(I = \frac{E}{{r + {R_{ng}}}} = \frac{{12}}{{2 + {R_{ng}}}}\)

Công suất tiêu thụ của mạch ngoài là:

\(P={{I}^{2}}{{R}_{ng}}=\frac{{{12}^{2}}.{{R}_{ng}}}{{{\left( 2+{{R}_{ng}} \right)}^{2}}}=\frac{144.{{R}_{ng}}}{{{R}_{ng}}^{2}+4{{R}_{ng}}+4}=\frac{144}{{{R}_{ng}}+4+\frac{4}{{{R}_{ng}}}}\)

Để công suất tiêu thụ của mạch ngoài cực đại, ta có:

\(P\max \Leftrightarrow \left( {{R}_{ng}}+4+\frac{4}{{{R}_{ng}}} \right)\min \Rightarrow \left( {{R}_{ng}}+\frac{4}{{{R}_{ng}}} \right)\min \)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:

\({{R}_{ng}}+\frac{4}{{{R}_{ng}}}\ge 2\sqrt{{{R}_{ng}}.\frac{4}{{{R}_{ng}}}}=4\) (dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow {{R}_{ng}}=\frac{4}{{{R}_{ng}}}\Rightarrow {{R}_{ng}}=2\,\,\Omega \) )

Vậy để \(P\max \Leftrightarrow {{R}_{ng}}=2\Rightarrow \frac{6R}{6+R}=2\Rightarrow 6R=12+2R\Rightarrow R=3\,\,\left( \Omega  \right)\)

Chọn C.