Phương pháp giải:

Gọi tọa độ hai điểm A, B thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số, tìm độ dài AB và áp dụng bất đẳng thức AM – GM tìm khoảng cách AB bé nhất

Lời giải chi tiết:

Vì \(A\), \(B\) thuộc hai nhánh của đồ thị \(y=\frac{2x-1}{x+2}\) nên \(A\left( a;2-\frac{5}{a+2} \right)\), \(B\left( b;2-\frac{5}{b+2} \right)\) với \(a>-2\), \(b<-2\)

Khi đó \(A{{B}^{2}}={{\left( a-b \right)}^{2}}.\left[ 1+\frac{25}{{{\left( a+2 \right)}^{2}}{{\left( b+2 \right)}^{2}}} \right]={{\left[ \left( a+2 \right)+\left( -b-2 \right) \right]}^{2}}.\left[ 1+\frac{25}{{{\left( a+2 \right)}^{2}}{{\left( -b-2 \right)}^{2}}} \right]\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có \({{\left[ \left( a+2 \right)+\left( -b-2 \right) \right]}^{2}}\ge 4\left( a+2 \right)\left( -b-2 \right)\)          \(\left( 1 \right)\)

                                                         \(1+\frac{25}{{{\left( a+2 \right)}^{2}}.{{\left( -\,b-2 \right)}^{2}}}\ge \frac{10}{\left( a+2 \right)\left( -\,b-2 \right)}\)          \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)suy ra \(A{{B}^{2}}\ge 40\) \(\Rightarrow AB\ge 2\sqrt{10}\)

Dấu \(''=''\) xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}
a + 2 = - 2 - b\\
1 = \frac{{25}}{{{{\left( {a + 2} \right)}^2}{{\left( { - 2 - b} \right)}^2}}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \sqrt 5 - 2\\
b = - 2 - \sqrt 5
\end{array} \right.\)

. Vậy \(A{{B}_{\min }}=2\sqrt{10}.\)

Chọn D