Câu hỏi
Ba quả bóng dạng hình cầu có bán kính bằng 1 đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) bán kính bằng 2 tiếp xúc với ba quả bóng ở trên. Gọi M là điểm bất kì trên \(\left( S \right)\), MH là khoảng cách từ M đến mặt phẳng \(\left( P \right)\). Giá trị lớn nhất của \(MH\) là :
- A \(3 + \frac{{\sqrt {30} }}{2}\)
- B \(3 + \frac{{\sqrt {123} }}{4}\)
- C \(3 + \frac{{\sqrt {69} }}{3}\)
- D \(\frac{{52}}{9}\)
Phương pháp giải:
Gọi A, B, C lần lượt là tâm các mặt cầu bán kính bằng 1 và S là tâm mặt cầu bán kính bằng 2.
Chứng minh chóp S.ABC là chóp tam giác đều, từ đó suy ra khoảng cách lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
Gọi A, B, C lần lượt là tâm các mặt cầu bán kính bằng 1 và S là tâm mặt cầu bán kính bằng 2.
Ta có \(AB = BC = CA = 1 + 1 = 2,\,\,SA = SB = SC = 2 + 1 = 3\)
Do đó hình chóp S.ABC là hình chóp đều. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right)\). Ta có \(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {69} }}{3}\)
Ta dễ thấy \(\left( {ABC} \right)\parallel \left( P \right)\) và \(d\left( {\left( {ABC} \right);\left( P \right)} \right) = d\left( {A;\left( P \right)} \right) = 1\)
Vậy khoảng cách lớn nhất là \(\frac{{\sqrt {69} }}{3} + 1 + 2 = \frac{{\sqrt {69} }}{3} + 3\)
Chọn C.
Câu hỏi trước
