Phương pháp giải:

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = x + yi\) ta có :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {z - 10 + 2i} \right| = \left| {z + 2 - 14i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi - 10 + 2i} \right| = \left| {x + yi + 2 - 14i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 10} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 14} \right)^2}\\ \Leftrightarrow  - 10x + 2y + 52 = 2x - 14y + 100\\ \Leftrightarrow 12x - 16y + 48 = 0\\ \Leftrightarrow 3x - 4y + 12 = 0\,\,\,\left( d \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\left| {z - 1 - 10i} \right| = 5\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi - 1 - 10i} \right| = 5\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 10} \right)^2} = 25\,\,\,\left( C \right)\end{array}\)

Vậy tập hợp các số phức z thỏa mãn hai điều kiện trên là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (C), ta có đường tròn (C) có tâm \(I\left( {1;10} \right)\), bán kính \(R = 5\), \(d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {3 - 4.10 + 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 5 = R \Rightarrow d\) tiếp xúc với (C) hay có duy nhất 1 điểm z thỏa mãn hai điều kiện trên.

Chọn B.