Lời giải chi tiết:

* Tính chất: Chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường vuông góc là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. Vẽ H là trung điểm BC \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

* Vẽ \(HM \bot AB,\,\,HN \bot AC\) có \(\widehat {\left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat M = {60^0}\), \(\widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat N = {60^0}\).

* \({\Delta _v}SHM = {\Delta _v}SHN \Rightarrow HM = HN\)

\( \Rightarrow {\Delta _v}HMB - {\Delta _v}HNC \Rightarrow \widehat B = \widehat C\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông cân ở A.

* Tam giác vuông SHM: \(SH = HM.\tan {60^0} = \frac{a}{2}\sqrt 3  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

* Dễ thấy \(AH \bot \left( {SBC} \right)\). Vẽ \(HK \bot SB \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAB} \right);\left( {SBC} \right)} \right)} = \widehat {{K_1}}\)

* \(AH = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)   

* Tam giác vuông SHB: \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{B{H^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {10} }}\)

* Tam giác vuông AHK: \(\tan \widehat {{K_1}} = \frac{{AH}}{{HK}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}:\frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {10} }} = \sqrt {\frac{5}{3}} \)

Chọn đáp án B.