Phương pháp giải:

Đặt \(t = {3^{x - 1}}\), sử dụng các công thức \({a^{{{\log }_a}f\left( x \right)}} = f\left( x \right)\) và công thức khai triển nhị thức Newton.

Lời giải chi tiết:

\(a = {2^{{{\log }_2}\sqrt {{9^{x - 1}} + 7} }} = \sqrt {{9^{x - 1}} + 7} ;\,\,\,b = {2^{ - \frac{1}{5}{{\log }_2}\left( {{3^{x - 1}} + 1} \right)}} = {\left( {{3^{x - 1}} + 1} \right)^{\frac{{ - 1}}{5}}}\)

Đặt \(t = {3^{x - 1}}\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(a = \sqrt {{t^2} + 7} ;\,\,b = {\left( {t + 1} \right)^{ - \frac{1}{5}}}\)

Khi đó ta có \({\left( {a + b} \right)^7} = \left( {\sqrt {{t^2} + 7}  + {{\left( {t + 1} \right)}^{ - \frac{1}{5}}}} \right) = \sum\limits_{i = 0}^7 {C_7^i{{\left( {\sqrt {{t^2} + 7} } \right)}^{7 - i}}{{\left( {t + 1} \right)}^{ - \frac{i}{5}}}} \)

Khi đó số hạng thứ 6 trong khai triển trên là \(C_7^5{\left( {\sqrt {{t^2} + 7} } \right)^2}{\left( {t + 1} \right)^{ - 1}} = 84\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\sqrt {{t^2} + 7} } \right)^2}{\left( {t + 1} \right)^{ - 1}} = 4 \Leftrightarrow \left( {{t^2} + 7} \right) = 4\left( {t + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^{x - 1}} = 1\\{3^{x - 1}} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn A.