Phương pháp giải:

Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp, tính bán kính mặt cầu.

Tính thể tích khối cầu \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi O là tâm của đáy ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của NC, AN.

Ta có:  \(\left\{ \begin{align}  CD\bot AD \\  CD\bot SA \\ \end{align} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot AP\)

Mà \(AP\bot SC\) (do \(SC\bot \left( \alpha  \right)\))

       \(\Rightarrow AP\bot \left( SCD \right)\Rightarrow AP\bot PN\Rightarrow A,P,N\)nằm trên đường tròn đường kính AN.

Tương tự, \(A,M,N\) cũng nằm trên đường tròn đường kính AN.

\(\Rightarrow A\) thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác PMN, hay tứ giác APNM là tứ giác ngoại tiếp đường tròn tâm J.

Do đó, điểm A nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tứ diện C.MNP.

OJ là đường trung bình của tam giác ANC \(\Rightarrow JO//NC\)

\(\Rightarrow JO\bot (AMNP)\) ( vì \(NC\bot (AMNP)\))

Mà J là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNP

\(\Rightarrow OA=OM=ON=OP\) (1)

Mặt khác OI là đường trung bình tam giác ANC \(\Rightarrow OI//AN\Rightarrow OI\bot NC\) (do \(AN\bot NC\))

\(\Rightarrow OI\) là đường trung trực của NC \(\Rightarrow ON=OC\)  (2)

Từ (1), (2) suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp C.AMNP, bán kính \(R=OC=\frac{AC}{2}=\frac{AB\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}.\sqrt{2}}{2}=2\) (do ABCD là hình vuông)

Thể tích khối cầu \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{.2}^{3}}=\frac{32\pi }{3}\).

Chọn: B