Phương pháp giải:

Tính đạo hàm, giải phương trình để tìm tọa độ hai điểm cực trị, tìm tọa độ trung điểm của hai điểm cực trị và cho điểm thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Lời giải chi tiết:

Ta có \({y}'=3{{x}^{2}}-6mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2m \\ \end{align} \right.\).

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi \(m\ne 0\).

Khi đó, gọi hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( 0;4{{m}^{3}} \right);\,\,B\left( 2m;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 2m;\ -4{{m}^{3}} \right).\)

Phương trình đường phân giác của góc phần tư thứ nhất \(d:y=x\Leftrightarrow x-y=0.\) Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn\(AB\Rightarrow \,\,I\left( m;2{{m}^{3}} \right)\).

Yêu cầu bài toán  \(\left\{ \begin{array}{l}
I \in \left( d \right)\\
AB \bot \left( d \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m - 2{m^3} = 0\\
2m - 4{m^3} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m\left( {1 - 2{m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\;\;\left( {tm} \right)\\
m = 0\;\;\left( {ktm} \right)
\end{array} \right..\)

Do đó tổng các giá trị \(m\) thỏa mãn là \(0\).

Chọn C