Phương pháp giải:

Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, tính bán kính mặt cầu, từ đó tính thể tích mặt cầu \({{V}_{mc}}=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi SA là một cạnh bên của hình chóp, M là trung điểm của SA, \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng chứa đa giác đáy, H là chân đường vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy.

Vì hình chóp đa giác đều \(\Rightarrow H\)là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

\(\left( \widehat{SA;(\alpha )} \right)=\left( \widehat{SA;AH} \right)=\widehat{SAH}={{30}^{0}}\)

Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(OM\)là trung trực của đoạn SA.

\(\Delta SAH\)vuông tại H \(\Rightarrow SH=SA.\sin \widehat{A}=a.\sin {{30}^{0}}=\frac{a}{2}\)

Ta có: \(\Delta SOM\)đồng dạng \(\Delta SAH\) (g.g) \(\Rightarrow \frac{SO}{SA}=\frac{SM}{SH}\Leftrightarrow \frac{SO}{a}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}}=1\Rightarrow SO=a\Rightarrow R=a\)

Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:  \({{V}_{mc}}=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{a}^{3}}\)

Chọn: A