Phương pháp giải:

Công thức số tổ hợp chập k của n phần tử: \(C_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}\)

Công thức khai triển nhị thức Newton: \({{(x+y)}^{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}{{x}^{i}}.{{y}^{n-i}}}\) .

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}C_n^1 + C_n^3 = 13n\left( {n \ge 3} \right) \Leftrightarrow n + \frac{{n!}}{{(n - 3)!.3!}} = 13n \Leftrightarrow n + \frac{{n(n - 1)(n - 2)}}{6} - 13n = 0\\ \Leftrightarrow 6n + {n^3} - 3{n^2} + 2n - 78n = 0 \Leftrightarrow {n^3} - 3{n^2} - 70n = 0 \Leftrightarrow n({n^2} - 3n - 70) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0(L)\\n = 10\\n =  - 7(L)\end{array} \right. \Rightarrow n = 10\end{array}\)

Khi đó: \({{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{n}}={{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{i=0}^{10}{C_{10}^{i}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{i}}.{{\left( {{x}^{-3}} \right)}^{10-i}}}=\sum\limits_{i=0}^{10}{C_{10}^{i}{{x}^{5i-30}}}\)

Số hạng chứa \({{x}^{5}}\)trong khai triển ứng với i thỏa mãn:                           \(5i-30=5\Leftrightarrow i=7\)

Hệ số của số hạng chứa \({{x}^{5}}\)trong khai triển: \(C_{10}^{7}=120\)

Chọn: A