Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân tính \(1+x+..+{{x}^{10}}\).

+) Quy đồng, bỏ mẫu, khai triển nhị thức Newton hai vế của phương trình.

+) Tìm hệ số của \({{x}^{11}}\) ở hai vế và cho chúng bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}  {{\left( 1+x+{{x}^{2}}+...+{{x}^{10}} \right)}^{11}}={{\left( \frac{{{x}^{11}}-1}{x-1} \right)}^{11}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}_{2}}+...+{{a}_{110}}{{x}^{110}} \\  \Leftrightarrow {{\left( {{x}^{11}}-1 \right)}^{11}}=\left( {{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}_{2}}+...+{{a}_{110}}{{x}^{110}} \right){{\left( x-1 \right)}^{11}} \\  \Leftrightarrow \sum\limits_{k=0}^{11}{C_{11}^{k}{{x}^{11k}}{{\left( -1 \right)}^{11-k}}}=\left( {{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}_{2}}+...+{{a}_{110}}{{x}^{110}} \right).\sum\limits_{m=0}^{11}{C_{11}^{m}.{{x}^{m}}.{{\left( -1 \right)}^{11-k}}} \\ \end{align}\)

Hệ số của \({{x}^{11}}\) ở VT là \(C_{11}^{1}{{\left( -1 \right)}^{10}}=C_{11}^{1}=11\)

Hệ số của \({{x}^{11}}\) ở VP là

\(\begin{align}  \,\,\,{{a}_{0}}.C_{11}^{11}{{\left( -1 \right)}^{0}}+{{a}_{1}}.C_{11}^{10}.{{\left( -1 \right)}^{1}}+{{a}_{2}}.C_{11}^{9}.{{\left( -1 \right)}^{2}}+...+{{a}_{10}}.C_{11}^{1}.{{\left( -1 \right)}^{10}}+{{a}_{11}}.C_{11}^{0}{{\left( -1 \right)}^{11}} \\  ={{a}_{0}}.C_{11}^{11}-{{a}_{1}}.C_{11}^{10}+{{a}_{2}}.C_{11}^{9}+...+{{a}_{10}}.C_{11}^{1}-{{a}_{11}}.C_{11}^{0} \\ \end{align}\) 

\(\Rightarrow {{a}_{0}}.C_{11}^{11}-{{a}_{1}}.C_{11}^{10}+{{a}_{2}}.C_{11}^{9}+...+{{a}_{10}}.C_{11}^{1}-{{a}_{11}}.C_{11}^{0}=11=-T\Rightarrow T=-11\)

Chọn A.