Phương pháp giải:

Hàm số \(y=f(x)\)đồng biến trên \(D\Leftrightarrow f'(x)\ge 0,\,\,\forall x\in D\), \(f'(x)=0\) tại hữu hạn điểm thuộc D.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y=\frac{x+{{m}^{2}}}{x+4}\):

TXĐ: \(D=R\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ -4 \right\}\),    \(y'=\frac{4-{{m}^{2}}}{{{(x+4)}^{2}}}\)

Để hàm số \(y=\frac{x+{{m}^{2}}}{x+4}\) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó thì \(4-{{m}^{2}}>0\Leftrightarrow -2<m<2\)

Mà \(m\in Z\Rightarrow m\in \left\{ -1;0;1 \right\}\). Vậy, có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. 

Chọn: B