Phương pháp giải:

+) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác CMN và SMN.

+) Dựng trục của hai mặt phẳng (CMN) và (SMN), giao điểm của hai trục chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.CMN.

Lời giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của AB ta có \(SH\bot \left( ABCD \right)\).

Gọi F là trung điểm của MN, \(\Delta CMN\) vuông tại C nên F là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta CMN\)

Qua F kẻ \({{d}_{1}}//SH\Rightarrow {{d}_{1}}\bot \left( ABCD \right)\)

Ta có:

\(\begin{align}  HN=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SN=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2} \\  MN=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2} \\  SM=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{2} \\  \Rightarrow S{{N}^{2}}+M{{N}^{2}}=S{{M}^{2}} \\ \end{align}\)  

\(\Rightarrow \Delta SMN\) vuông tại N.

Gọi E là trun điểm của SM, qua E kẻ \({{d}_{2}}\bot \left( SMN \right)\) sao cho \({{d}_{2}}\cap {{d}_{1}}=I\Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.CMN.

Dễ thấy \(\Delta HMN\) vuông cân tại N

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN \bot HN\\MN \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow MN \bot SN\\ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SMN} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SH;HN} \right)} = \widehat {SNH}\end{array}\)

Ta có \(\left\{ \begin{align}  {{d}_{1}}\bot \left( ABCD \right) \\  {{d}_{2}}\bot \left( SMN \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \widehat{\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)}=\widehat{\left( \left( SMN \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SNH}=\widehat{EIF}<{{90}^{0}}\)

Ta có : \(\tan \widehat{SNH}=\frac{SH}{SN}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\tan \widehat{EIF}\)

Có \(EI\bot \left( SMN \right)\Rightarrow EI\bot EF\Leftrightarrow \Delta EIF\) vuông tại E \(\Rightarrow IE=\frac{EF}{\tan \widehat{EIF}}=\frac{SN}{2\tan \widehat{EIF}}=\frac{\frac{a\sqrt{5}}{2}}{\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}=\frac{a\sqrt{30}}{12}\)

Xét tam giác vuông SIE có \(IS=\sqrt{I{{E}^{2}}+S{{E}^{2}}}=\sqrt{I{{E}^{2}}+\frac{S{{M}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{93}}{12}=R\)

Chọn C.