Phương pháp giải:

Hàm số đồng biến trên tập xác định D của nó \(\Leftrightarrow y'\ge 0\,\,\forall x\in D\)

Lời giải chi tiết:

Đáp án A: TXĐ \(D=R\backslash \left\{ -1 \right\}\). Có \(y'=\frac{3}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0\,\,\forall x\in R\backslash \left\{ -1 \right\}\Rightarrow \) Hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+1}\) đồng biến trên TXĐ.

Đáp án B: TXĐ: \(D=R\). Có \(y'=4{{x}^{3}}+6x\)

Đáp án C: TXĐ: \(D=R\). Có \(y'=3{{x}^{2}}+1>0\,\,\forall x\in R\Rightarrow \) Hàm số \(y={{x}^{3}}+x-5\) đồng biến trên R.

Đáp án D: TXĐ: \(D=R\) có \(y'=2x\).

Chọn C.