Phương pháp giải:

Tính đạo hàm, biện luận phương trình để hàm số có cực tiểu

Lời giải chi tiết:

 Xét \(f\left( x \right)={{x}^{4}}+4m{{x}^{3}}+3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+1,\) có \({f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+12m{{x}^{2}}+6\left( m+1 \right)x;\,\,\forall x\in \mathbb{R}.\)

Phương trình \({f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2x\left( 2{{x}^{2}}+6mx+3m+3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & 2{{x}^{2}}+6mx+3m+3=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right) \\ \end{align} \right..\)

Vì hệ số \(a=1>0\) nên để hàm số có thể có 2 cực tiểu và 1 cực đại \(\Rightarrow \) hàm số có 1 cực tiểu mà không có cực đại

\(\Leftrightarrow \) Phương trình \(\left( * \right)\) vô nghiệm \(\Leftrightarrow \,\,{{{\Delta }'}_{\left( * \right)}}<0\)

\(\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-6m-6<0\Leftrightarrow \,\,\frac{1-\sqrt{7}}{3}<m<\frac{1+\sqrt{7}}{3}\Leftrightarrow -0,55<m<1,2.\)

Kết hợp với \(m\in \mathbb{Z},\) ta được \(m=\left\{ 0;\,\,1 \right\}\Rightarrow \,\,\sum{m}=1.\)

Chọn A