Phương pháp giải:

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\,\,\,\left( ad-bc\ne 0 \right)\) luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó.

TH1: Hàm số đồng biến trên \(\left[ 2;4 \right]\Rightarrow \underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=y(4)\)

TH2: Hàm số nghịch biến trên \(\left[ 2;4 \right]\Rightarrow \underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=y(2)\)

Lời giải chi tiết:

Tập  xác định: \(D=R\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ 1 \right\}\).

Ta có: \(y'=\frac{1.(-1)-1.m}{{{(x-1)}^{2}}}=\frac{-1-m}{{{(x-1)}^{2}}}\)

TH1: \(-1-m>0\Leftrightarrow m<-1\):

\(y'>0,\,\,\forall x\in \left[ 2;4 \right]\Rightarrow \)Hàm số đồng biến trên (2;4) \(\Rightarrow \underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=y(4)=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{4+m}{4-1}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow m=-2\,\,(TM)\)

 TH2: \(-1-m<0\Leftrightarrow m>-1\)

\(y'<0,\,\,\forall x\in \left[ 2;4 \right]\Rightarrow \)Hàm số nghịch biến trên (2;4) \(\Rightarrow \underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=y(2)=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{2+m}{2-1}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow m=-\frac{4}{3}\,\,(Loai)\)

Vậy, \(m=-2\).

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án C thỏa mãn.

Chọn: C