Câu hỏi
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD,\) đường cao \(SO.\) Biết rằng trong các thiết diện của hình chóp cắt bởi các mặt phẳng chứa \(SO,\) thiết diện có diện tích lớn nhất là tam giác đều cạnh bằng \(a,\) tính thể tích khối chóp đã cho.
- A
\(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}.\)
- B
\(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.\)
- C
\(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.\)
- D \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.\)
Phương pháp giải:
Diện tích thiết diện lớn nhất đạt được khi đáy tam giác trùng với đường chéo hình vuông
Lời giải chi tiết:
Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều \(\Rightarrow \,\,SO\bot \left( ABCD \right)\)
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa \(SO,\) cắt đáy tại \(M,\,\,N\Rightarrow \,\,\Delta \,SMN\) đều.
Suy ra \(\left( SMN \right)\bot \left( ABCD \right)\) và \({{S}_{\Delta \,SMN}}=\frac{1}{2}.SO.MN=\frac{a\sqrt{3}}{2}.MN\)
Vì \({{\left\{ {{S}_{\Delta \,SMN}} \right\}}_{\max }}\Rightarrow MN\) lớn nhất \(\Leftrightarrow \)\(MN\,\,\equiv \,\,AC\)\(\Rightarrow \,\,{{S}_{ABCD}}=A{{C}^{2}}={{a}^{2}}.\)
Vậy thể tích khối chóp cần tìm là \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\frac{{{a}^{2}}}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.\)
Chọn C
Câu hỏi trước
