Phương pháp giải:

+) Đường thẳng \(x=a\) được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nếu: \(\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty .\)

+) Đường thẳng \(y=b\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nếu: \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b.\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ : \(D=\left( -\infty ;\ -1 \right)\cup \left( 1;+\infty  \right).\)

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=1.\)

Ta có \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}}}=\frac{1}{\sqrt{1}}=1\Rightarrow \) tiệm cận ngang \(y=1.\)

Lại có \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\frac{1}{x}}{-\sqrt{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}}}=\frac{1}{-\sqrt{1}}=-1\Rightarrow \) tiệm cận ngang \(y=-1.\)

Đồ thị hàm số \(y=\frac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}\) có tất cả 3 cận đứng và tiệm cận ngang. 

Chọn D.