Câu hỏi
Rút gọn tổng sau \(S=C_{2018}^{2}+C_{2018}^{5}+C_{2018}^{8}+...+C_{2018}^{2018}\)
- A \(S=\frac{{{2}^{2018}}-1}{3}\).
- B \(S=\frac{{{2}^{2019}}+1}{3}\).
- C \(S=\frac{{{2}^{2019}}-1}{3}\).
- D \(S=\frac{{{2}^{2018}}+1}{3}\).
Lời giải chi tiết:
Đặt
\(\begin{align} & {{A}_{2018}}=C_{2018}^{0}+C_{2018}^{3}+...+C_{2018}^{2016} \\ & {{B}_{2018}}=C_{2018}^{1}+C_{2018}^{4}+...+C_{2018}^{2017} \\ & {{C}_{2018}}=S=C_{2018}^{2}+C_{2018}^{5}+...+C_{2018}^{2018} \\\end{align}\)
Ta có kết quả sau \({{A}_{2018}}={{C}_{2018}}={{B}_{2018}}-1\)
(Có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học, tổng quát \({{A}_{6k+2}}={{C}_{6k+2}}={{B}_{6k+2}}-1;{{A}_{6k+5}}={{C}_{6k+5}}={{B}_{6k+5}}+1\))
Mặt khác ta có
\(\begin{align} & {{A}_{2018}}+{{B}_{2018}}+{{C}_{2018}}=C_{2018}^{0}+C_{2018}^{1}+...+C_{2018}^{2018} \\ & ={{\left( 1+1 \right)}^{2018}}={{2}^{2018}} \\\end{align}\)
\(\Rightarrow S+\left( S+1 \right)+S={{2}^{2018}}\Rightarrow S=\frac{{{2}^{2018}}-1}{3}\)
Chọn A
Câu hỏi trước
