Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị.

+) Tìm các điểm cực trị A, B, C.

+) Tam giác ABC cân, giả sử cân tại A, có chứa góc 30⁰ \( \Rightarrow \left[ \matrix{  \widehat {BAC} = {30^0} \hfill \cr   \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = {30^0} \hfill \cr}  \right.\), tính các cạnh của tam giác ABC và sử dụng công thức định lí cosin trong tam giác.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\)

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr   {x^2} = m \hfill \cr}  \right.\)

Để hàm số có ba điểm cực trị \( \Leftrightarrow pt\,\,y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m > 0\)

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow A\left( {0;3} \right) \hfill \cr   x = \sqrt m  \Rightarrow y =  - {m^2} + 3 \Rightarrow B\left( {\sqrt m ; - {m^2} + 3} \right) \hfill \cr   x =  - \sqrt m  \Rightarrow y =  - {m^2} + 3 \Rightarrow C\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + 3} \right) \hfill \cr}  \right.\)

Tam giác \(ABC\) cân tại A có \(AB = AC = \sqrt {m + {m^4}} ,\,\,BC = 2\sqrt m \)

TH1:

\(\eqalign{  & \widehat {BAC} = {30^0} \Rightarrow \cos \widehat {BAC} = {{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \over {2AB.AC}}  \cr   &  \Leftrightarrow {{\sqrt 3 } \over 2} = {{2m + 2{m^4} - 4m} \over {2\left( {m + {m^4}} \right)}}  \cr   &  \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {m + {m^4}} \right) = 2{m^4} - 2m  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3  + 2} \right)m = \left( {2 - \sqrt 3 } \right){m^4}  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  m = 0\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr   {m^3} = {{2 + \sqrt 3 } \over {2 - \sqrt 3 }} = 7 + 4\sqrt 3  \hfill \cr}  \right. \Rightarrow m = \root 3 \of {7 + 4\sqrt 3 }  \cr} \)

TH2:

\(\eqalign{  & \widehat {ABC} = {30^0} \Leftrightarrow \cos \widehat {ABC} = {{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}} \over {2AB.BC}}  \cr   &  \Leftrightarrow {{\sqrt 3 } \over 2} = {{m + {m^4} + 4m - m - {m^4}} \over {2\sqrt {m + {m^4}} .2\sqrt m }}  \cr   &  \Leftrightarrow {{\sqrt 3 } \over 2} = {{\sqrt m } \over {\sqrt {m + {m^4}} }}  \cr   &  \Leftrightarrow 3\left( {m + {m^4}} \right) = 4m  \cr   &  \Leftrightarrow 3{m^4} = m \Leftrightarrow \left[ \matrix{  m = 0\,\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr   m = \root 3 \of {{1 \over 3}} \,\,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr}  \right.  \cr   &  \Rightarrow S = \left\{ {\root 3 \of {7 + 4\sqrt 3 } ;\root 3 \of {{1 \over 3}} } \right\};\,\,\root 3 \of {7 + 4\sqrt 3 }  + \root 3 \of {{1 \over 3}}  \approx 3 \cr} \)

Chọn A.