Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị.

+) Tìm các điểm cực tiểu B, C của đồ thị hàm số, lưu ý \({y_B} = {y_C}\).

+) Tính BC và tìm GTNN của BC.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\)

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4\left( {{m^2} - m + 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr   {x^2} = {m^2} - m + 1 > 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \) phương trình luôn có 3 nghiệm phân biệt

\( \Rightarrow \) Hàm số có 3 điểm cực trị với mọi m.

 Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr   x = \sqrt {{m^2} - m + 1}  \hfill \cr   x =  - \sqrt {{m^2} - m + 1}  \hfill \cr}  \right. \Rightarrow B\left( {\sqrt {{m^2} - m + 1} ;{y_B}} \right);\,\,C\left( { - \sqrt {{m^2} - m + 1} ;{y_C}} \right)\) là hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số với \({y_B} = {y_C}\).

\(BC = 2\sqrt {{m^2} - m + 1}  = 2\sqrt {{{\left( {m - {1 \over 2}} \right)}^2} + {3 \over 4}}  \ge 2.{{\sqrt 3 } \over 2} = \sqrt 3 \)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow m = {1 \over 2} \Rightarrow k = {1 \over 2} \in \left( {0;1} \right)\)

Chọn A.