Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị.

+) Tìm các điểm cực trị A, B, C của đồ thị hàm số.

+) Để tam giác ABC nhận gốc tọa độ \(O\) làm trọng tâm \( \Rightarrow {y_A} + {y_B} + {y_C} = 0\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\).

Ta có: \(y' = {x^3} - 2\left( {3m + 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow x\left[ {{x^2} - 2\left( {3m + 1} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr   {x^2} = 2\left( {3m + 1} \right) \hfill \cr}  \right.\)

Để hàm số có ba điểm cực trị \( \Rightarrow pt\,\,y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow 3m + 1 > 0 \Leftrightarrow m >  - {1 \over 3}\).

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {x_A} = 0 \Rightarrow {y_A} = 2m + 2 \hfill \cr   {x_B} = \sqrt {2\left( {3m + 1} \right)}  \Rightarrow {y_B} =  - 9{m^2} - 4m + 1 \hfill \cr   {x_C} =  - \sqrt {2\left( {3m + 1} \right)}  \Rightarrow {y_C} =  - 9{m^2} - 4m + 1 \hfill \cr}  \right.\)

Để tam giác ABC nhận gốc tọa độ \(O\) làm trọng tâm

\( \Rightarrow {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} \over 3} = 0 \Leftrightarrow 2m + 2 - 18{m^2} - 8m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  m = {1 \over 3}\,\,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr   m =  - {2 \over 3}\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr}  \right.\)

Chọn A.