Phương pháp giải:

Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên R thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in R\) và \(y' = 0\) tại hữu hạn điểm.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: D = R.

Ta có: \(y' = {x^2} - 2mx + 4\).

Để hàm số đồng biến trên R thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in R\) và \(y' = 0\) tại hữu hạn điểm.

\(y' \ge 0\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  a = 1 > 0 \hfill \cr   \Delta ' = {m^2} - 4 \le 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow m \in \left[ { - 2;2} \right]\)

Khi \(m = 2\), hàm số trở thành \(y = {1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + 4x - 1\) có \(y' = {x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

Khi \(m =  - 2\), hàm số trở thành \(y = {1 \over 3}{x^3} + 2{x^2} + 4x - 1\) có \(y' = {x^2} + 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\).

Vậy để hàm số đồng biến trên R thì \(m \in \left[ { - 2;2} \right] \Rightarrow \) Có 5 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.