Phương pháp giải:

+) Từ \(2x+y=\frac{5}{4}\) rút y theo x, thế vào biểu thức P.

+) Tìm tập giá trị của x.

+) Tìm GTNN của biểu thức P bằng MTCT.

Lời giải chi tiết:

\(2x+y=\frac{5}{4}\Rightarrow y=\frac{5}{4}-2x\Rightarrow P=\frac{2}{x}+\frac{1}{4y}=\frac{2}{x}+\frac{1}{4\left( \frac{5}{4}-2x \right)}=\frac{2}{x}+\frac{1}{5-8x}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{2}{x}+\frac{1}{5-8x}\) với \(x\in \left( 0;\frac{5}{8} \right)\)

Sử dụng MTCT ta tính được \(\underset{x\in \left( 0;\frac{5}{8} \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=5\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\) . Vậy \({{P}_{\min }}=5\).

Chọn C.