Phương pháp giải:

+) Tính y’, giải phương trình \(y'=0\), tìm điều kiện để phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt.

+) Tìm các điểm cực trị của hàm số.

+) Tính diện tích tam giác cân tạo bởi các điểm cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(y'=4{{x}^{3}}-4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & {{x}^{2}}=m \\ \end{align} \right.\)

Để hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu \(\Leftrightarrow pt\,\,y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m>0\)

\(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0\Rightarrow y=2m \\  & x=\pm \sqrt{m}\Rightarrow y=-{{m}^{2}}+2m \\ \end{align} \right.\Rightarrow A\left( 0;2m \right),\,\,B\left( \sqrt{m};-{{m}^{2}}+2m \right),\,\,C\left( -\sqrt{m};-{{m}^{2}}+2m \right).\)

Tam giác ABC cân tại A với mọi m.

Đường thẳng BC có phương trình \(y={{m}^{2}}\Rightarrow d\left( A;BC \right)=\left| 2m-{{m}^{2}}-2m \right|={{m}^{2}};\,\,BC=2\sqrt{m}\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}BC.d\left( A;BC \right)=\frac{1}{2}.2\sqrt{m}.{{m}^{2}}=32 \\  & \Leftrightarrow \sqrt{m}.{{m}^{2}}=32\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{m} \right)}^{5}}={{2}^{5}}\Leftrightarrow \sqrt{m}=2\Leftrightarrow m=4\,\,\left( tm \right). \\ \end{align}\)

Chọn A.