Phương pháp giải:

Biến đổi tương đương.

Sử dụng công thức nhân đôi $\cot \left( {A + B} \right) = {{\cot A\cot B - 1} \over {\cot A + \cot B}}$.

Sử dụng tổng ba góc trong một tam giác $A + B + C = {180^0} \Rightarrow A + B = {180^0} - C \Rightarrow \cot \left( {A + B} \right) =  - \cot C$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left( {1 + \cot A} \right)\left( {1 + \cot B} \right) = 2 \Leftrightarrow 1 + \cot A + \cot B + \cot A\cot B = 2 \Leftrightarrow \cot A + \cot B = 1 - \cot A\cot B\,\,(*)$

+) Nếu $\cot A + \cot B = 0 \Leftrightarrow \cot A =  - \cot B:\,\,\,\,\,\,\,(*) \Leftrightarrow 0 = 1 + {\cot ^2}A\,\,\,$ (vô lý)

+) Nếu $\cot A + \cot B \ne 0$:

$(*) \Leftrightarrow {{\cot A\cot B - 1} \over {\cot A + \cot B}} =  - 1 \Leftrightarrow \cot (A + B) =  - 1 \Leftrightarrow \cot ({180^0} - C) =  - 1 \Leftrightarrow  - \cot C =  - 1 \Leftrightarrow \cot C = 1 \Rightarrow C = {45^0}$

Chọn: D.