Lời giải chi tiết:

Vẽ AH ⊥ BC tại H, A’ đối xứng với A qua H

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay ∆ ABC quanh cạnh BC bằng tổng thể tích hai khối nón có chung đường tròn đáy bán kính AH và bằng

\(\begin{array}{l}\frac{{3136\pi }}{5} = {V_a} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.BH + \frac{1}{3}\pi A{H^2}.CH\\ = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.BC = \frac{1}{3}\pi .a.h_a^2\end{array}\)

Tương tự ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{9408\pi }}{{13}} = {V_b} = \frac{1}{3}\pi .b.h_b^2\\672\pi  = {V_c} = \frac{1}{3}\pi .c.h_c^2\\ \Rightarrow a.{V_a} = b.{V_b} = c.{V_c} = \frac{1}{3}\pi {\left( {2{S_{ABC}}} \right)^2}\;\left( * \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow a:b:c = \frac{1}{{{V_a}}}:\frac{1}{{{V_b}}}:\frac{1}{{{V_c}}} = 15:13:14\)

Đặt \(a = 15k;b = 13k;c = 14k\). Theo công thức Hêrông, ta có

\({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = \sqrt {7056{k^2}}  = 84k\) với \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = 21k\)

Từ (*) suy ra \(\frac{{3{V_a}}}{\pi } = \frac{{{{\left( {2{S_{ABC}}} \right)}^2}}}{a} \Rightarrow \frac{{9408}}{5} = \frac{{{{\left( {168k} \right)}^2}}}{{15k}} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow {S_{ABC}} = 84\)

Chọn A.