Phương pháp giải:

+) Công thức đạo hàm hàm hợp: \(y=f\left( u(x) \right)\,\,\Rightarrow \,\,y'=f'\left( u(x) \right).u'(x)\)

+) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \({{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\): \(y=f'({{x}_{0}}).(x-{{x}_{0}})+f({{x}_{0}})\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({{\left[ f(1+2x) \right]}^{2}}=x-{{\left[ f(1-x) \right]}^{3}}\). Cho \(x=0\Rightarrow {{\left[ f(1) \right]}^{2}}=0-{{\left[ f(1) \right]}^{3}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  f(1)=-1 \\  f(1)=0 \\ \end{align} \right.\)

Đạo hàm hai vế của \({{\left[ f(1+2x) \right]}^{2}}=x-{{\left[ f(1-x) \right]}^{3}}\), ta được:

\(\begin{align}  \,\,\,\,\,\,\,2.f(1+2x).\left[ f(1+2x) \right]'=1-3.{{\left[ f(1-x) \right]}^{2}}.{{\left[ f(1-x) \right]}^{'}} \\  \Leftrightarrow 2.f(1+2x).f'(1+2x).(1+2x)'=1-3.{{\left[ f(1-x) \right]}^{2}}.f'(1-x).(1-x)' \\  \Leftrightarrow 4f(1+2x).f'(1+2x)=1+3{{\left[ f(1-x) \right]}^{2}}.f'(1-x) \\ \end{align}\)

Cho \(x=0\Rightarrow 4f(1).f'(1)=1+3{{f}^{2}}(1).f'(1)\).

+) Nếu \(f(1)=-1\) thì \(-4f'(1)=1+3f'(1)\Leftrightarrow f'(1)=\frac{-1}{7}\)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y=f'(1).(x-1)+f(1)\Leftrightarrow y=-\frac{1}{7}.(x-1)-1\Leftrightarrow y=-\frac{1}{7}x-\frac{6}{7}\)

+) Nếu \(f(1)=0\) thì \(4.0.f'(1)=1+{{3.0}^{0}}.f'(1)\Leftrightarrow 0=1\) vô lý.

Chọn: D