Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng

Lời giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của  \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BM \bot SC\\DM \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {MBD} \right).\)

Suy ra \(\widehat{\left( \left( SBC \right);\left( SCD \right) \right)}=\widehat{\left( MB;MD \right)}=\widehat{BMD}=2.\widehat{\left( \left( SAC \right);\left( SCD \right) \right)}=2\alpha .\)

Tam giác \(SBC\) đều \(\Rightarrow BM=\frac{a\sqrt{6}}{2};\) tam giác \(SCD\) đều \(\Rightarrow DM=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\)

Tam giác \(MBD\) có \(\cos \widehat{BMD}=\frac{B{{M}^{2}}+D{{M}^{2}}-B{{D}^{2}}}{2.BM.DM}=-\,\frac{1}{3}=\cos 2\alpha \)

\( \Rightarrow \,\,2{\cos ^2}\alpha  - 1 =  - \frac{1}{3} \Leftrightarrow \cos \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \tan \alpha  = \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1}  = \sqrt 2 .\)

Chọn C.