Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức nhân đôi rút gọn biểu thức của hàm số ban đầu.

+) Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp để tính đạo hàm của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x = \frac{1}{2}\left( {1 + \cos x} \right) = \frac{1}{2}.2{\cos ^2}\frac{x}{2} = {\cos ^2}\frac{x}{2}\\ \Rightarrow \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x}  = \left| {\cos \frac{x}{2}} \right|\end{array}\)

Vì \(x\in \left( 0;\pi  \right)\Rightarrow \frac{x}{2}\Rightarrow \left( 0;\frac{\pi }{4} \right)\Rightarrow \cos \frac{x}{2}>0\,\,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right)\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos x}=\cos \frac{x}{2}\)

\(\Rightarrow y=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}}}\)

Tương tự ta chứng minh được  \(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}}=\cos \frac{x}{4}\Rightarrow y=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \frac{x}{4}}=\cos \frac{x}{8}\)

\(\Rightarrow y'=\left( \cos \frac{x}{8} \right)'=-\sin \frac{x}{8}.\left( \frac{x}{8} \right)'=-\frac{1}{8}\sin \frac{x}{8}\Rightarrow a=-\frac{1}{8}\)

Chọn D