Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ có nghiệm duy nhất.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:

\(\begin{align}  & \ \ \ \ \ \frac{4x-{{m}^{2}}}{x-1}=x+1\,\,\,\left( x\ne 1 \right) \\  & \Leftrightarrow 4x-{{m}^{2}}={{x}^{2}}-1 \\  & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+{{m}^{2}}-1=0\,\,\left( * \right) \\ \end{align}\) Để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{4x-{{m}^{2}}}{x-1}\) tại đúng 1 điểm

TH1: phương trình (*) có nghiệm kép \(x\ne 1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' = 4 - {m^2} + 1 = 0\\
{1^2} - 4 + {m^2} - 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \sqrt 5 \\
m = - \sqrt 5
\end{array} \right.\)

TH2: Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm x = 1.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' = 4 - {m^2} + 1 > 0\\
{1^2} - 4 + {m^2} - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- \sqrt 5 < m < \sqrt 5 \\
m = \pm 2\,\,\left( {tm} \right)
\end{array} \right.\)

 Tích các phần tử của S bằng 20.

Chọn A.