Phương pháp giải:

+) Tính đạo hàm của hàm số và giải phương trình \(y'=0.\)

+) Tính giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn \(\left[ 1;\ 4 \right]\) và các nghiệm của phương trình \(y'=0.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x\ne -3.\)

Ta có: \(y'=\frac{-5}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}<0\,\,\forall x\in R\backslash \left\{ -3 \right\}\Rightarrow \) Hàm nghịch biến trên \(\left( -\infty ;-3 \right)\) và \(\left( -3;+\infty  \right)\).

\(\Rightarrow \left[ 1;\ 4 \right]\subset \left( -3;+\infty  \right).\)

Lại có: \(\left\{ \begin{align} & f\left( 1 \right)=\frac{1}{4} \\  & f\left( 4 \right)=-\frac{2}{7} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \underset{\left[ 1;\ 4 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=-\frac{2}{7}.\)

Chọn D.