Phương pháp giải:

+) Đường thẳng \(x=a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số nếu \(\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty .\)

+) Đường thẳng \(y=b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số nếu \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b.\)

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \begin{align}  & x\ne 0 \\  & x\ne 1 \\  & m{{x}^{2}}+1\ge 0 \\ \end{align} \right..\)

+) Với \(m=0\) ta có \(y=\frac{{{x}^{2}}+1}{x\left( x-1 \right)}.\) Có \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+1}{x\left( x-1 \right)}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-x}=1\Rightarrow \) hàm số có 1 đường TCN.

\(\Rightarrow \) loại đáp án C.

+) Với \(m<0\) ta thấy biểu thức \(m{{x}^{2}}+1\ge 0\Leftrightarrow m{{x}^{2}}\ge -1\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le -\frac{1}{m}\Leftrightarrow -\sqrt{-\frac{1}{m}}\le x\le \sqrt{-\frac{1}{m}}\), tức là có điều kiện ràng buộc của x nên không thể xét x đến vô cùng được \(\Rightarrow \) loại đáp án B.

+) Với \(m>0\) ta có: \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}+{{x}^{2}}}{x\left( x-1 \right)}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}+{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{\frac{m}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{4}}}}+1}{1-\frac{1}{{{x}^{3}}}}=1.\)

\(\Rightarrow \) Đồ thị hàm số có 1 đường TCN.

Vậy không có giá trị nào của m để đồ thị hàm số có 2 TCN.

Chọn A.