Phương pháp giải:

+) Vận dụng cách tìm góc giữa hai mặt phẳng và cách tìm khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của $AO,\ \left( \alpha \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $AO$.

Gọi $H=\left( \alpha \right)\cap AD.$

Từ H dựng đường thẳng $d\bot \left( ABCD \right).$

Lấy $S\in d,$ như thế ta có hình chóp thỏa mãn bài toán.

Ta có góc giữa đường thẳng SD với (ABCD) là góc $\widehat{SDA}={{60}^{0}}.$

$\Rightarrow \tan \widehat{SAD}=\frac{SH}{HD}.$

Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=2a.$

Ta có: $\Delta AIH\backsim \Delta ADC\ \left( g-g \right)\Rightarrow \frac{AI}{AD}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AH=\frac{AI.AC}{AD}=\frac{A{{C}^{2}}}{4AD}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$ $\begin{align} & \Rightarrow DH=AD-AH=a\sqrt{3}-\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}. \\ & \Rightarrow SH=DH.\tan {{60}^{0}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3}=2a. \\ \end{align}$

Ta có $AO=BO=AB=a\Rightarrow \Delta AOB$ là tam giác đều.

$\Rightarrow IB\bot AO\Rightarrow B\in \left( SHI \right)\Rightarrow H,\ I,\ B$ thẳng hàng.

Ta có: $\left\{ \begin{align} & AC\bot SH \\ & AC\bot BH \\ \end{align} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SHB \right)\Rightarrow AC\bot SB.$

Gọi J là hình chiếu của I lên SB, khi đó ta được $IJ=d\left( AC,\ SB \right).$

Ta có:

$\begin{align} & HB=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}. \\ & \tan \widehat{SHB}=\frac{SH}{HB}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SBH}={{60}^{0}}. \\ & \Rightarrow IJ=BI.\sin {{60}^{0}}=\frac{3a}{4}. \\ \end{align}$

Chọn D.