Phương pháp giải:

+) Sử dụng giả thiết và các khai triển nhị thức để tìm n.

+) Sau đó dựa vào khai triển \({{\left( x+a \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{x}^{k}}{{a}^{n-k}}.}\)  tìm hệ số khai triển của \({{x}^{10}}\)

Lời giải chi tiết:

Xét khai triển: \({{\left( 3-x \right)}^{n}}={{3}^{n}}C_{n}^{0}-{{3}^{n-1}}C_{n}^{1}x+{{3}^{n-2}}C_{n}^{2}{{x}^{2}}-.........+\left( -1 \right)C_{n}^{n}{{x}^{n}}\)

Với \(x=1\Rightarrow {{\left( 3-1 \right)}^{n}}={{3}^{n}}C_{n}^{0}-{{3}^{n-1}}C_{n}^{1}+{{3}^{n-2}}C_{n}^{2}-.........+\left( -1 \right)C_{n}^{n}.\)

Theo đề bài ta có: \({{3}^{n}}C_{n}^{0}-{{3}^{n-1}}C_{n}^{1}+{{3}^{n-2}}C_{n}^{2}-.........+\left( -1 \right)C_{n}^{n}=2048.\)

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow {{\left( 3-1 \right)}^{n}}={{2}^{11}} \\  & \Leftrightarrow {{2}^{n}}={{2}^{11}} \\  & \Leftrightarrow n=11\ \ \left( tm \right). \\ \end{align}\)

Xét khai triển: \({{\left( x+2 \right)}^{11}}=\sum\limits_{k-0}^{11}{C_{n}^{k}{{x}^{k}}{{.2}^{11-k}}}\)

Để có hệ số của \({{x}^{10}}\Rightarrow k=10.\)

Hệ số của \({{x}^{10}}:\ \ C_{11}^{10}{{2}^{11-10}}=2.11=22.\)

Chọn B.