Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0.

Để hàm số liên tục tại x = 0  thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{  & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {ax + 1} \root 3 \of {bx + 1}  - 1} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\left( {\sqrt {ax + 1}  - 1} \right)\left( {\root 3 \of {bx + 1}  - 1} \right) + \left( {\sqrt {ax + 1}  - 1} \right) + \left( {\root 3 \of {bx + 1}  - 1} \right)} \over x}  \cr   &  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{{ax + 1 - 1} \over {\sqrt {ax + 1}  + 1}}.{{bx + 1 - 1} \over {{{\root 3 \of {bx + 1} }^2} + \root 3 \of {bx + 1}  + 1}} + {{ax + 1 - 1} \over {\sqrt {ax + 1}  + 1}} + {{bx + 1 - 1} \over {{{\root 3 \of {bx + 1} }^2} + \root 3 \of {bx + 1}  + 1}}} \over x}  \cr   &  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {{{abx} \over {\left( {\sqrt {ax + 1}  + 1} \right)\left( {{{\root 3 \of {bx + 1} }^2} + \root 3 \of {bx + 1}  + 1} \right)}} + {a \over {\sqrt {ax + 1}  + 1}} + {b \over {{{\root 3 \of {bx + 1} }^2} + \root 3 \of {bx + 1}  + 1}}} \right]  \cr   &  = 0 + {a \over 2} + {b \over 3} = {a \over 2} + {b \over 3} \cr} \)

Để hàm số liên tục tại x = 0  thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow {a \over 2} + {b \over 3} = a + b \Leftrightarrow {a \over 2} + {{2b} \over 3} = 0 \Leftrightarrow 3b + 4b = 0\)

Chọn C.