Phương pháp giải:

+) Lấy tham số hóa tọa độ điểm A thuộc d, từ điều kiện \(AM \bot BH\) thiết lập phương trình giải tìm tọa độ điểm A, từ đó suy ra tọa độ điểm C.

+) Lập phương trình đường thẳng BC đi qua C và song song với d, giải giao ddiemr BC và BH được đỉnh C.

+) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC, BC và so sánh.

Lời giải chi tiết:

Điểm  \(A \in d:x - 4y - 2 = 0 \Leftrightarrow A\left( {4t + 2;t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MA}  = \left( {4t + 1;t - 2} \right)\)

Vì  \(BH \bot AC\) nên \(\overrightarrow {MA} .{\overrightarrow u _{BH}} = 0 \Leftrightarrow \left( {4t + 1} \right).1 + \left( {t - 2} \right)\left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4t + 1 - t + 2 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \Rightarrow A\left( { - 2; - 1} \right)\)

Vì M(1;2)  là trung điểm của AC nên  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 2{x_M} - {x_A} = 2.1 + 2 = 4\\{y_C} = 2{y_M} - {y_A} = 2.2 + 1 = 5\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {4;5} \right)\)

Đường thẳng BC song song với đường thẳng d \( \Leftrightarrow BC\) có phương trình dạng  \(x - 4y + m = 0\,\,\left( {m \ne  - 2} \right)\)

\(C \in BC \Rightarrow 4 - 4.5 + m = 0 \Leftrightarrow m = 16 \Leftrightarrow BC:x - 4y + 16 = 0\)

\(B = BH \cap BC \Rightarrow \) Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình   \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4y + 16 = 0\\x + y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 4;3} \right)\)

Vậy \(AB = \sqrt {{2^2} + {4^2}}  = 2\sqrt 5 ,BC = \sqrt {{8^2} + {2^2}}  = 2\sqrt {17} ,AC = \sqrt {{6^2} + {6^2}}  = 6\sqrt 2  \Rightarrow AB < BC < AC\)

Chọn C.