Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác

Lời giải chi tiết:

Vì S.ABC là hình chóp đều nên \(SO\bot \left( ABC \right)\) ( với O là tâm của tam giác ABC).

Do đó \(SO\bot AO\) mà \(\left( \alpha  \right)\bot AO\) suy ra \(SO\parallel \left( \alpha  \right)\).

Tương tự ta cũng có \(BC\parallel \left( \alpha  \right)\).

Qua M kẻ \(IJ\parallel BC\) với \(I\in AB,\text{ }J\in AC\); kẻ \(MK\parallel SO\) với \(K\in SA.\)

Khi đó thiết diện là tam giác KIJ.

Diện tích tam giác KIJ là \({{S}_{\Delta IJK}}=\frac{1}{2}IJ.MK\).

Trong tam giác ABC, ta có \(\frac{IJ}{BC}=\frac{AM}{AA'}\)  (A’ là trung điểm của BC) suy ra \(IJ=\frac{AM.BC}{AA'}=\frac{x.a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2x\sqrt{3}}{3}\).

Tương tự trong tam giác SAO, ta có \(\frac{MK}{SO}=\frac{AM}{AO}\) suy ra \(MK=\frac{AM.SO}{AO}=\frac{x.2a}{\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}}=2x\sqrt{3}\).

Vậy \({{S}_{\Delta IJK}}=\frac{1}{2}\frac{2x\sqrt{3}}{3}.2x\sqrt{3}=2{{x}^{2}}\).

Chọn B