Phương pháp giải:

+) Xuất phát từ khai triển nhị thức \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

+) Thay \(a,b,n\) bằng các giá trị thích hợp để tính giá trị biểu thức VT.

+) Giải phương trình để tìm \(n\)

Lời giải chi tiết:

Đặt

\(\begin{array}{l}
S = 4n + {2^3}C_n^2 + {2^4}C_n^3 + ... + {2^{n - 1}}C_n^{n - 2} + {2^n}C_n^{n - 1} + {2^{n + 1}}\\
= 4C_n^1 + {2^3}C_n^2 + {2^4}C_n^3 + ... + {2^{n - 1}}C_n^{n - 2} + {2^n}C_n^{n - 1} + {2^{n + 1}}C_n^n\\
= 2\left( {{2^1}C_n^1 + {2^2}C_n^2 + {2^3}C_n^3 + ... + {2^{n - 2}}C_n^{n - 2} + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n} \right)
\end{array}\)

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Thay \(a = 1,b = 2\) ta có:

\(\begin{array}{l}
{3^n} = C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n\\
\Leftrightarrow {3^n} = 1 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n\\
\Leftrightarrow 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n = {3^n} - 1
\end{array}\)

Suy ra \(S = 2.\left( {{3^n} - 1} \right)\)

Kết hợp với giả thiết ta có: \(2.\left( {{3^n} - 1} \right) = 4372 \Leftrightarrow {3^n} - 1 = 2186 \Leftrightarrow {3^n} = 2187 \Leftrightarrow {3^n} = {3^7} \Leftrightarrow n = 7\)

Chọn B.