Phương pháp giải:

+) Xuất phát từ khai triển nhị thức \({\left( {a + b} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0{a^{2n + 1}} + C_{2n + 1}^1{a^{2n}}b + C_{2n + 1}^2{a^{2n - 1}}{b^2} + ... + C_{2n + 1}^{2n}a{b^{2n}} + C_{2n + 1}^{2n + 1}{b^{2n + 1}}\)

+) Thay \(a,b\) bằng các giá trị thích hợp để tính giá trị biểu thức VT.

+) Giải phương trình để tìm \(n\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng tính chất \(C_n^k = C_n^{n - k}\) ta có:

\(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{n - 2} + C_{2n + 1}^{n - 1} + C_{2n + 1}^n = C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n - 1} + C_{2n + 1}^{2n - 2} + ... + C_{2n + 1}^{n + 3} + C_{2n + 1}^{n + 2} + C_{2n + 1}^{n + 1}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0{a^{2n + 1}} + C_{2n + 1}^1{a^{2n}}b + C_{2n + 1}^2{a^{2n - 1}}{b^2} + ... + C_{2n + 1}^{2n}a{b^{2n}} + C_{2n + 1}^{2n + 1}{b^{2n + 1}}\)

Thay \(a = 1,b = 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}
{2^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n + 1}\\
\Leftrightarrow {2^{2n + 1}} = 1 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^{2n} + 1\\
\Leftrightarrow {2^{2n + 1}} - 2 = C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^{2n}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có:

\(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{n - 2} + C_{2n + 1}^{n - 1} + C_{2n + 1}^n = \dfrac{1}{2}\left( {{2^{2n + 1}} - 2} \right) = {2^{2n}} - 1\)

Kết hợp với giả thiết ta có: \({2^{2n}} - 1 = {2^{20}} - 1 \Leftrightarrow 2n = 20 \Leftrightarrow n = 10\)

Chọn C.