Phương pháp giải:

+ Vẽ thêm điểm H sao cho tam giác BHC vuông cân đỉnh B, H thuộc nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A.

+ Chứng minh M là trung điểm của HC để suy ra MB = MC.

+ Chứng minh MB vuông góc với MC để suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chưa A dựng tam giác BHC vuông cân đỉnh B.

Xét tam giác BHD và tam giác BCA có: 

DB = BA (Vì ADBE là hình vuông)

\(\widehat{DBH}=\widehat{ABC}\) (vì cùng phụ với góc HBA)

BH = BC (vì tam giác BHC vuông cân đỉnh B)

Do đó: \(\Delta BHD=\Delta BCA\,\,(c.g.c)\), suy ra \(DH=AC,\widehat{BHD}=\widehat{BCA}\).

AC cắt HD tạ K, cắt BH tại I.

Xét tam giác IHK và tam giác ICB có: \(\widehat{HIK}=\widehat{CIB}\) (đối đỉnh), \(\widehat{BHD}=\widehat{BCA}\), do đó \(\widehat{HKI}=\widehat{IBC}={{90}^{0}}\Rightarrow KC\bot DH\)

Mặt khác \(KC\bot CF\), do đó DH // CF.

Ta có DH = CF (= AC) và DH // CF nên DHFC là hình bình hành.

Mà M là trung điểm của DF nên M là trung điểm của HC, suy ra tam giác MBC vuông cân đỉnh M.