Phương pháp giải:

Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đi qua các đỉnh của khối chóp bằng phương pháp dựng hình, từ đó dựa vào tính toán xác định bán kính – thể tích mặt cầu

Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết, ta có \(\widehat{ABC}={{90}^{0}}\) và \(\widehat{AKC}={{90}^{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

Do \(\left\{ \begin{align}  & AH\bot SB \\ & BC\bot AH\,\,\,\,\left( BC\bot \left( SAB \right) \right) \\\end{align} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH\bot HC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\)\(\Rightarrow \) ba điểm \(B,\,\,H,\,\,K\) cùng nhìn xuống \(AC\) dưới một góc \({{90}^{0}}.\)

Nên hình chóp \(A.HKCB\) nội tiếp mặt cầu tâm \(I\) là trung điểm \(AC.\)

\(\Rightarrow \)\(R=\frac{AC}{2}=\frac{AB\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\) Vậy thể tích khối cầu \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{\sqrt{2}\,\pi {{a}^{3}}}{3}.\)

Chọn D