Phương pháp giải:

+) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) =  \pm \infty \) thì đường thẳng \(x = a\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = b\) thì đường thẳng \(y = b\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

+) Xét hàm số: \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) có tiệm cận đứng là: \(x = 2\) và tiệm cận ngang là: \(y = 1.\)

+) Xét hàm số: \(y = {3^x}\) có tiệm cận ngang là \(y = 0.\)

+) Xét hàm số: \(y = {\log _3}x\,\,\left( {x > 0} \right)\) có tiệm cận đứng là \(x = 0.\)

+) Xét hàm số: \(y = \sqrt {{x^2} + x + 1}  - x\)

TXĐ : D = R. Ta có \(y = \sqrt {{x^2} + x + 1}  - x = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + x + 1}  + x}}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + x + 1} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1}} = \frac{1}{2}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + x + 1} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{ - \sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1}} = + \infty \end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số có 1 đường tiệm cận ngang \(y = \frac{1}{2}\)

Vậy cả bốn đồ thị hàm số đã cho đều có đường tiệm cận.