Câu hỏi
Tìm các giá trị của tham số thực \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - (m - 1){x^2} + 4(m - 2)x + 2\) có hai điểm cực trị \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 + 3{x_1}{x_2} = 4\).
- A \(m = - 2\) hoặc \(m = - 1\) .
- B \(m = - 1\) hoặc \(m=2\)
- C \(m = - 1 \pm \sqrt {21} \).
- D Không tồn tại \(m\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y'={{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+4\left( m-2 \right)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+4\left( m-2 \right)=0\ \ \left( * \right)\)
Hàm số có hai điểm cực trị \(\Leftrightarrow pt\ \ \left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt
\(\begin{align}& \Leftrightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}-4\left( m-2 \right)>0 \\ & \Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m+9>0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( m-3 \right)}^{2}}>0 \\ & \Leftrightarrow m\ne 3. \\ \end{align}\)
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{align} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\left( m-1 \right) \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=4\left( m-2 \right) \\ \end{align} \right..\)
Theo đề bài ta có: \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + {x_1}{x_2} = 4\\
\Leftrightarrow 4{\left( {m - 1} \right)^2} + 4\left( {m - 2} \right) = 4\\
\Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + m - 2 = 1\\
\Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = - 1\\
m = 2
\end{array} \right.\;\;\left( {tm} \right)
\end{array}\)
Chọn B.
Câu hỏi trước
