Phương pháp giải:

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f\left( x \right),x=a,x=b\) quanh trục Ox là: \(V=\pi .\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}.\)

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức \(V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}.\)

\( = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}\,{\rm{d}}x}  = \pi \int\limits_0^1 {{e^{2x}}\,{\rm{d}}x}  = \frac{\pi }{2}\left. {{e^{2x}}} \right|_0^1 = \frac{\pi }{2}\left( {{e^2} - 1} \right)\)

Khi đó \(V=\pi \int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\frac{\text{d}t}{2}}=\frac{\pi }{2}\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\text{d}t}=\frac{\pi }{2}.\left. t \right|_{1}^{{{e}^{2}}}=\frac{\pi \left( {{e}^{2}}-1 \right)}{2}.\)

Vậy \(V=\frac{\pi \left( {{e}^{2}}-1 \right)}{2}.\)

Chọn D.