Phương pháp giải:

: Sử dụng kiến thức

-          Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và 2 trục tọa độ.

-          Điều kiện để có tam giác cân.

-          Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}d \cap Oy = \left\{ B \right\}\\x = 0 \Rightarrow y = m - 1\\\Rightarrow B(0;m - 1) \Rightarrow OB = |m - 1|\\d \cap {\rm{Ox}} = \left\{ A \right\}\\y = 0 \Leftrightarrow mx + m - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{1 - m}}{m}(m \ne 0)\\\Rightarrow A\left( {\frac{{1 - m}}{m};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\frac{{1 - m}}{m}} \right|\end{array}\)

Tam giác OAB vuông cân tại O

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow OA = OB \Leftrightarrow |m - 1| = \left| {\frac{{1 - m}}{m}} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = \frac{{1 - m}}{m}\\m - 1 = \frac{{m - 1}}{m}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 1\\(m - 1)\left( {1 - \frac{1}{m}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  \pm 1\\\frac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{m} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  \pm 1\end{array}\)

Chọn D.