Phương pháp giải:

Tìm \(n\) bằng các công thức \({P_n} = n!;\,\,A_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!}}\) và \(C_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!.k!}}.\) Sử dụng công thức tổng quát \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} .{a^{n\, - \,k}}.{b^k}\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Tìm hệ số của số hạng cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(n \ge 2.\) Ta có \(C_{n\, + \,1}^1 + 3\,C_{n\, + \,2}^2 = C_{n\, + \,1}^3 \Leftrightarrow n + 1 + 3.{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)} \over 2} = {{\left( {n + 1} \right)n\left( {n - 1} \right)} \over 6}\)

\( \Leftrightarrow 6 + 9\left( {n + 2} \right) = n\left( {n - 1} \right) \Leftrightarrow {n^2} - 10n - 24 = 0 \Leftrightarrow \left( {n + 2} \right)\left( {n - 12} \right) = 0 \Leftrightarrow n = 12\) (vì điều kiện \(x \ge 2\))

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có \({\left( {\sqrt x  + 2\left( {1 - {1 \over x}} \right)} \right)^{12}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{12} {C_{12}^k} .{\left( {\sqrt x } \right)^{12\, - \,k}}{.2^k}.{\left( {1 - {1 \over x}} \right)^k}.\)

\( = \sum\limits_{k\, = \,0}^{12} {C_{12}^k} {.2^k}.{\left( {\sqrt x } \right)^{12\, - \,k}}.\sum\limits_{i\, = \,0}^k {C_k^i} .{{{{\left( { - \,1} \right)}^i}} \over {{x^i}}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{12} {C_{12}^k} {.2^k}.\sum\limits_{i\, = \,0}^k {C_k^i} .{\left( { - \,1} \right)^i}.{x^{{{12\, - \,k} \over 2}\, - \,i}}.\)

Hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) ứng với \(\left\{ \matrix{  0 \le i \le k \le 12 \hfill \cr   {{12 - k} \over 2} - i = 4 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  0 \le i \le k \le 12 \hfill \cr   k + 2i = 4 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left[ \matrix{  k = 2;\,\,i = 1 \hfill \cr   k = 4;\,\,i = 0 \hfill \cr}  \right..\)

Vậy hệ số cần tìm là \(C_{12}^2{.2^2}.C_2^1.{\left( { - \,1} \right)^1} + C_{12}^4{.2^4} = 7392\)

Chọn D