Phương pháp giải:

+) Đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại điểm có tọa độ (1;3) khi

\(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( 1 \right) = 0\\y\left( 1 \right) = 3\\y''\left( 1 \right) > 0\end{array} \right.\)

  từ đó giải hệ phương trình ta tìm được m và n

Lời giải chi tiết:

 Ta có:

\(y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + n \Rightarrow y' = 3{x^2} - 4mx + {m^2} \Rightarrow y'' = 6x - 4m\)

Đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại điểm có tọa độ (1;3) khi 

\(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( 1 \right) = 0\\y\left( 1 \right) = 3\\y''\left( 1 \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - 4m + {m^2} = 0\\1 - 2m + {m^2} + n = 3\\6 - 4m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 3\end{array} \right.\\ - 2m + {m^2} + n = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\ - 2m + {m^2} + n = 2\end{array} \right.\\m < \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 3\end{array} \right..\)

Vậy m + n  = 4

Chọn đáp án A.